Trang chủ > Các bài viết > Bất đẳng thức cosin và hằng số

Bất đẳng thức cosin và hằng số

CHUYÊN ĐỀ : CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỦA HÀM SỐ CÔSIN VỚI HẰNG SỐ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Các bài toán về bất đẳng thức khá phong phú và đa dạng, đặc biệt là các bất đẳng thức về góc trong tam giác. Chuyên đề nhỏ này với mục đích là giải quyết một phần nhỏ lớp các bài toán về bất đẳng thức của hàm số côsin và hằng số trong tam giác.

PHẦN II: NỘI DUNG

1. Bài toán cơ bản:

Cho x,y \in \left[ {0;\pi } \right] . Chứng minh rằng cosx + \cos y \le 2cos\frac{{x + y}}{2}

Chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vì x,y \in \left[ {0;\pi } \right] nên0 \le \frac{{x - y}}{2} \le \frac{\pi }{2}

Suy ra: 0 \le cos\frac{{x - y}}{2} \le 1

Vậy: cosx + \cos y = 2cos\frac{{x + y}}{2}cos\frac{{x - y}}{2} \le 2cos\frac{{x + y}}{2}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos\frac{{x - y}}{2} = 1 \Leftrightarrow x = y.

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Cho {x_i} \in \left[ {0;\pi } \right] ;i = \overline {1;n}

Khi đó : cos{x_1} + cos{x_2} + .... + cos{x_n} \le n\cos \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}

Với n=3 , ta có: cosx + \cos y + \cos z \le 3cos\frac{{x + y + z}}{3} với x,y,z \in \left[ {0;\pi } \right] (*)

Bất đẳng thức (*) được áp dụng trong tam giác \Delta ABC với ba góc A,B,C \in \left( {0;\pi } \right)

2. Kết quả trực tiếp

Vận dụng (*) và cách chọn các góc thích hợp trong tam giác \Delta ABC thì chúng ta thu được nhiều bất đẳng thức quên thuộc giữa hàm số côsin và hằng số.

Bổ đề :

a)cos\frac{\pi}{{12}}= \frac{{\sqrt 6 + \sqrt2 }}{4}

b)cos\frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}

c)cos\frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}

d)cos\frac{\pi }{{16}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2}

Ví dụ 1: Cho tam giác \Delta ABC. Chứng minh rằng:

a)\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}

b)\cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}

c)\cos\frac{A}{4}+\cos\frac{B}{4}+\cos\frac{C}{4} \le 3\frac{{\sqrt6+\sqrt2}}{4}

d)\cos \frac{{3A}}{{10}} + \cos \frac{{3B}}{{10}} + \cos \frac{{3C}}{{10}} \le 3\frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}

e)\cos \frac{{3A}}{{16}} + \cos \frac{{3B}}{{16}} + \cos \frac{{3C}}{{16}} \le 3\frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2}

3. Kết quả gián tiếp

Vận dụng (*) và phối hợp với các bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có nhiều bất đẳng thức quan trọng.

Ví dụ 2: Cho tam giác \Delta ABC không tù, chứng minh rằng:

\sqrt {\cos A}  + \sqrt {\cos B}  + \sqrt {\cos C} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }} (1)

Chứng minh: Vì tam giác \Delta ABC không tù nên \cos A \ge 0;\cos B \ge 0;\cos C \ge 0

Do đó, ta có:

\sqrt {\cos A}=\sqrt 2.\sqrt {\frac{1}{2}.\cos A} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left({\frac{1}{2}+\cos A}\right)=\frac{{\sqrt 2}}{4}+\frac{{\sqrt 2}}{2}\cos A

\sqrt {\cos B}=\sqrt 2.\sqrt {\frac{1}{2}.\cos B} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left({\frac{1}{2}+\cos B}\right)=\frac{{\sqrt 2}}{4}+\frac{{\sqrt 2}}{2}\cos B

\sqrt {\cos C}=\sqrt 2.\sqrt {\frac{1}{2}.\cos C} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left({\frac{1}{2}+\cos C}\right)=\frac{{\sqrt 2}}{4}+\frac{{\sqrt 2}}{2}\cos C

Vậy:

\sqrt {\cos A}+ \sqrt {\cos B} + \sqrt {\cos C} \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)

\Rightarrow \sqrt {\cos A} + \sqrt {\cos B} + \sqrt {\cos C} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }} (đpcm)

Nhận xét:

a) Có thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh (1).

b) Trong trường hợp tổng quát, ta có:

\sqrt[n]{{\cos A}} + \sqrt[n]{{\cos B}} + \sqrt[n]{{\cos C}} \le \frac{3}{{\sqrt[n]{2}}}

với tam giác \Delta ABC không tù \left( {n \in ,n \ge 2} \right).

( Còn nữa )

Chuyên mục:Các bài viết
  1. Chưa có phản hồi.
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s