Trang chủ > Các bài viết > Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( * \right) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

* Chọn được {x_0} là nghiệm

* Xét các hàm số y = f\left( x \right)\left( {{C_1}} \right)y = g\left( x \right)\left( {{C_2}} \right). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến, một hàm số nghịch biến. Khi đó \left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ là {x_0}. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = c thì kết luận trên vẫn đúng.

Chúng ta lần lượt xét các ví dụ áp dụng mệnh đề trên.

Ví dụ 1 Giải phương trình

\sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là với mọi x

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

\sqrt{{x^2}+15} -\sqrt{{x^2}+8} =3x-2 \Leftrightarrow\frac{7}{{\sqrt {{x^2}+15}+\sqrt{{x^2} + 8}}}=3x-2

Nếu x \le 0 thì phương trình vô nghiệm. Vậy ta xét x > 0

Ta thấy phương trình có một nghiệm là x=1

Xét f(x)=\sqrt{{x^2}+15}-3x+2-\sqrt{{x^2}+8}.

Ta có: f'\left( x \right) = x\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}} \right) - 3

Do x > 0 nên f'\left( x \right) < 0. Vậy hàm số y = f\left( x \right) nghịch biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:

{x^5}+{x^3}-\sqrt {1 - 3x}+4=0

Lời giải

Điều kiện của phương trình 1 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}

Ta thấy phương trình có một nghiệm là x=-1

Xét f\left(x\right)={x^5}+{x^3}-\sqrt {1-3x}+4 với x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]

Ta có: f'\left(x\right)=5{x^4}+3{x^2}+\frac{3}{{2\sqrt {1 - 3x}}}>0 \forall x\in\left({-\infty;\frac{1}{3}}\right)

Do đó phương trình có duy nhất nghiệm là x=-1.

MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các phương trình sau:

Bài 1: \sqrt x+\sqrt {x-5}=\sqrt 5

Bài 2: \sqrt x+\sqrt {x-5}+\sqrt {x+7}+\sqrt {x+16}=14

Bài 3: \ln\left({x-4}\right)=5-x

Bài 4: {2^x}+{3^x}+{5^x}=38

Chuyên mục:Các bài viết
  1. Khách
    09/01/2011 lúc 11:58

    Thay co the lay vi du ve he phuong trinh duoc khong ?
    Hang

  2. Khách
    07/14/2012 lúc 11:58

    thầy giải giùm em bài 2 được không ạ ?

  3. hoàng
    09/03/2013 lúc 11:58

    giải giúp e bài này với
    x^5 – x^2-2x-1=0
    cmr pt có nghiệm duy nhất

    • the gunner
      12/07/2013 lúc 11:58

      nham dk 1 nghiem x=1 sau do dung ocle chia da thuc.ok

  4. Khách
    06/20/2014 lúc 11:58

    bài 4 giải thế nào vậy thầy???

    • 10/16/2014 lúc 11:58

      Chứng minh hàm số : \displaystyle f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{5}^{x}}-38 đồng biến trên \displaystyle \mathbb{R}. Nghiệm duy nhất \displaystyle x=2.

      • Nguyễn phước hậu
        07/22/2016 lúc 11:58

        Nếu Bài 4 không chứng minh đồng biến trên R mà giải theo hướng này được kg thầy.
        2^x+3^x+5^x=38(*)
        2^x+3^x+5^x=4+9+25
        Đối xứng hệ số ta có hệ
        2^x=4
        3^x=9
        5^x=25
        giải hệ ta thấy hệ có nghiệm x=2 . thử lại ta thấy thỏa (*).
        Mong thầy chỉ dạy thêm

  5. Khách
    02/24/2015 lúc 11:58

    Cam on anh Nguyen Anh Tuan

  6. Nguyen xuan tung
    10/26/2015 lúc 11:58

    CMR (e^x)=1+x có ngiệm duy nhất =0

    • 12/23/2015 lúc 11:58

      \displaystyle f\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1

      • Khách
        07/22/2016 lúc 11:58

        bài này mình chỉ bạn cách này nek.
        Viết lại phương trình .
        e^x=x+1(*)
        Đặt phương trình g(x)=e^x và h(x)=x+1
        Xét vị trí tương giao của g(x) và h(x)
        bảng giá trị x=0 thì g(0)=1 và h(0)=1; x=1 thì g(1)=e và h(1)=2. Bạn cho thêm vài giá trị nữa nhé.
        bạn vẽ hàm số g(x) và h(x) trê hệ trục Oxy sẽ thấy g(x) cắt h(x) tại x=0 và y=1 .thế giá trị x =0 vào (*) ta thấy thỏa điều kiện đề bài nhé. Mình có đôi điều chia sẽ cùng bạn

  7. thao
    01/08/2016 lúc 11:58

    cmr: arccosx = 5x + 4 co 1 nghiem duy nhat ^^ help

  8. 05/19/2016 lúc 11:58

    Cho hệ phương trình
    {3x+my=5
    {mx-y=1
    a) Giải hệ khi m=2
    b) chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
    ( Ai giúp mình giải bài này được không mình cần rất gấp )
    Cảm ơn nhiều ạ !!!!

  9. Khách
    06/09/2016 lúc 11:58

    Bài 1 giải như thế nào vậy thầy

    • VC
      09/06/2016 lúc 11:58

      Bài 1 giải sai rồi thầy ơi. Sai chổ đạo hàm nhé.

  10. VC
    09/06/2016 lúc 11:58

    Bài 1 giải sai rồi thầy ơi. Sai chổ đạo hàm nhé.

  11. tai tran
    11/10/2016 lúc 11:58

    kho hieu

  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s