Trang chủ > Các bài viết > Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Trong các đề thi đại học, một phần không thể thiếu là các bài toán về cực trị của hàm số. Một dạng toán thường hay gặp là tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa tính chất P nào đó. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trong một bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (nếu có ) và các ứng dụng của nó.

I – ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ

Xét hàm số y=a{x^3}+b{x^2}+cx+d\left({a\ne 0}\right)y'=3a{x^2}+2bx+c

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó.

Khi đó, nếu {x_0} là điểm cực trị thì giá trị cực trị y\left({{x_0}}\right) được tính như sau:

y\left({{x_0}}\right)=a{x_0}^3+b{x_0}^2+c{x_0}+d

II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ

1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Giả sử hàm số bậc ba y=f(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+d\left({a\ne 0}\right) có hai điểm cực trị là {x_1};{x_2}. Khi đó, thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được : f\left(x\right)=Q\left(x\right).f'\left(x\right)+Ax+B

Do đó, ta có: \left\{\begin{array}{l}  {y_1}=f\left({{x_1}}\right)=A{x_1}+B\\  {y_2}=f\left({{x_2}}\right)=A{x_2}+B\\  \end{array} \right.

Suy ra, các điểm \left( {{x_1};{y_1}} \right),\left( {{x_2};{y_2}} \right) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

2. Áp dụng

a) Có thể sử dụng phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để tìm cực trị khi biết điểm cực trị của hàm số.

b) Vận dụng hệ thức Vi-et và phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để giải quyết bài toán tìm giá trị tham số để hàm số có CĐ, CT thỏa tính chất P.

III- MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau

a) y = {x^3} - 2{x^2} - x + 1

b) y = 3{x^2} - 2{x^3}

Giải:

a) Ta có:

y' = 3{x^2} - 4x - 1=0 có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia y cho y' ta được

y=\left({\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}}\right).y'+\left({-\frac{{14}}{9}x+\frac{7}{9}}\right)

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y=-\frac{{14}}{9}x+\frac{7}{9}.

b) Ta có y'=-6{x^2}-6x có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

y = x

Ví dụ 2: Cho hàm số y={x^3}-3m{x^2}+3\left({{m^2}-1}\right)x-{m^3} ( m là tham số )

a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.

b) Với m như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Giải:

a)  Ta có: y'=3{x^2}-6mx+3\left({{m^2}-1}\right)

\Delta '=9{m^2}-9\left({{m^2}-1}\right)=9>0 \forall m

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m

b) Thực hiện phép chia y cho y’, ta được :

y=\left({\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}}\right)y'+\left({-2x-m}\right)

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y=- 2x-m

Ví dụ 3: Cho hàm số y=2{x^3}+3\left({m - 1}\right){x^2}+6\left( {m - 2}\right)x-1(1)

Tìm m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4x+1

Giải:

Ta có: y'=6{x^2}+6\left({m-1}\right)x+6\left({m - 2}\right)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

\Delta '=9{\left({m-1}\right)^2}-36\left({m-2}\right)=9{\left({m-3} \right)^2}>0

\Leftrightarrow m \ne 3 (1)

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

y=\left({-{m^2}+6m-9}\right)x-{m^2}+3m-3.

Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4x+1 ta phải có:

\left\{\begin{array}{l}  - {m^2}+6m-9= - 4\\  - {m^2}+3m-3\ne 1\\  \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}  m=1\vee m=5\\  {m^2}-3m+4\ne 0\\  \end{array}\right.\Leftrightarrow m=1\vee m=5

Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị m cần tìm là : m=1; m=5

Ví dụ 4: Cho hàm số y={x^3}+m{x^2}+7x+3. Tìm m để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y=\frac{3}{{10}}x+2012.

Giải:

Ta có: y'=3{x^2}+2mx+7

Hàm số có cực đại, cực tiểu \Delta '={m^2}-21>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  m>\sqrt {21}\\  m<-\sqrt {21}\\  \end{array}\right.\left(*\right)

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

y=\left({\frac{{14}}{3}-\frac{{2{m^2}}}{9}}\right)x+\frac{{27-7m}}{9}

Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng y=3x-7, ta phải có:

\frac{3}{{10}}\left({\frac{{14}}{3}-\frac{{2{m^2}}}{9}}\right)=-1\Leftrightarrow m=\pm 6 thỏa điều kiện (*).

Chuyên mục:Các bài viết
  1. Khách
    09/01/2011 lúc 11:58

    bai viet co ban. giup ich cho nhieu ban

  2. Khách
    09/01/2011 lúc 11:58

    thay oi, thay co the noi ro hon ve phep chia hai da thuc duoc khong ? mong thay thong cam

    • 09/05/2011 lúc 11:58

      Về phép chia hai đa thức một biến thì cũng đơn giản thôi. Phần này nằm trong sách toán lớp 8
      Quan trọng là em lấy phần dư trong phép chia

  3. 09/05/2011 lúc 11:58

    Trích: ”Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó.”
    Ở đây không cần cụm từ ” đổi dấu qua hai nghiệm đó.” vì phương trình bậc hai có hai nghiêm phân biệt thì hiển nhiên đổi dấu qua hai nghiệm đó rồi!
    Câu đó chỉ cần viết: ”Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. ”

  4. 09/05/2011 lúc 11:58

    Khi đặt vấn đề về lý thuyết cần phải chính xác.Một điều là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt hiển nhiên là đổi dấu qua hai nghiệm đó
    Ở đây trong phần lý thuyết bác nêu, chứ trong phần thực hành không nêu. Chú xem lại các ví dụ ở trên nhé.

  5. 09/05/2011 lúc 11:58

    Theo chú nghĩ chỉ cần viết: ”Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. ” là chính xác rùi. Phần thừa nên bỏ, tránh trường hợp học sinh thay lại tham số để kiểm tra xem y’ có đổi dấu qua hai nghiệm hay không ( những học sinh hay rập khuôn đó mà).
    Bài viết hay đó! Hi vọng được đọc các bài khác hay hơn!

  6. Khách
    09/10/2011 lúc 11:58

    hjhj.that may man la thay da giup em tim ra nhieu vi du de thuc hanh.e dang khong biet nen tim o dau day.em kam on thay nhieu lam.mong they dua len nhiu vi du ve dang nay nua nhe.em chao thay

  7. hocsinh
    09/10/2011 lúc 11:58

    thay oi thay co the cho nhiu vi du hon nua duoc khong a

  8. hocsinh
    09/10/2011 lúc 11:58

    thay oi cho em nhiu vi du ve phan nay hon duoc khong thay?thay co gang giup em ty nha

  9. 09/11/2011 lúc 11:58

    hocsinh :

    thay oi thay co the cho nhiu vi du hon nua duoc khong a

    Thầy cảm ơn em nhiều. Thời gian tới thầy chăm chỉ hơn thôi

  10. Thanhhp
    02/24/2012 lúc 11:58

    em cảm ơn bài viết của thầy ạ!

  11. quannguyenpt
    04/01/2012 lúc 11:58

    tại sao cách chia đa thức này không dùng được cho hàm phân thức,ai có thể giải thích hộ em được ko

  12. lequyen
    05/13/2012 lúc 11:58

    thanks!!!!!!!!!1

  13. Khách
    06/15/2012 lúc 11:58

    cach nay su dung co can Chung minh k thay

  14. Anh
    06/15/2012 lúc 11:58

    Cach nay su dung co can Chung minh khong thay

  15. Lương Thúy Phương
    06/29/2012 lúc 11:58

    hay lắm ạ, cảm ơn thầy

  16. anh
    04/03/2013 lúc 11:58

    Bai hay ah.nk e muin hoi co dc ap dung lun ychia y `k ah

  17. anh
    04/03/2013 lúc 11:58

    Chj ap dung cho ham bac 3thui ah.thay

  18. tú anh
    05/16/2013 lúc 11:58

    quá hay, cảm ơn thầy đã giúp đỡ chúng em

  19. nguyet_1996
    07/10/2013 lúc 11:58

    thay oj. chja da thuc cho da thuc thj e chja dk.nhug cu co tham so m la e laj chja saj. thay co pi kip j gjup e k thay. e cam on ak!

  20. Khách
    08/18/2013 lúc 11:58

    bai hay va rat co ich cho cach tim pt dg thang jk wa 2 cuc tri

  21. 09/18/2013 lúc 11:58

    thầy ơi, thầy có thể cm ở chỗ “Khi đó, thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được : f\left(x\right)=Q\left(x\right).f’\left(x\right)+Ax+B

    Do đó, ta có: \left\{\begin{array}{l} {y_1}=f\left({{x_1}}\right)=A{x_1}+B\\ {y_2}=f\left({{x_2}}\right)=A{x_2}+B\\ \end{array} \right.

    Suy ra, các điểm \left( {{x_1};{y_1}} \right),\left( {{x_2};{y_2}} \right) nằm trên đường thẳng y = Ax + B “, em ko hiều vì sao ta được như thế nơi…

  22. Khách
    04/01/2014 lúc 11:58

    thanks ban nhieu

  23. Khách
    12/05/2014 lúc 11:58

    Cảm ơn ạ

  24. 05/05/2015 lúc 11:58

    E không hiểu thầy chia kiểu gì

  25. ánh
    07/06/2015 lúc 11:58

    thay ơi chia y voi y’ nhu nao a

  26. tuấn
    08/02/2015 lúc 11:58

    vuông góc a.a’=-1 tại sao ở cuối là 3/10

  27. đạt
    08/04/2015 lúc 11:58

    thưa thầy cách này mình có đc áp dụng luôn khi lm ko ạ . e sợ
    phải cm lại lm

    • 10/02/2015 lúc 11:58

      cách này phải chứng minh. Nói chung trong các đề bộ thì thường cho nghiệm “đẹp” và mình viết bình thường.

  28. Khách
    12/15/2015 lúc 11:58

    thầy cho em hỏi : “trung điểm của đoạn thẳng nối 2 cực trị có nằm trên đồ thị mình đang xét ko ạ?”

    • 12/23/2015 lúc 11:58

      Tùy thuộc hàm số nữa chứ em. Chẳng hạn hàm số bậc ba, trung điểm hai cực trị là tâm đối xứng của đồ thị (thuộc đồ thị). Còn bậc bốn trùng phương, trung điểm hai điểm cực tiểu thì không thuộc đồ thị.

  29. 01/02/2016 lúc 11:58

    chỗ y’ : y e k hiểu ad ạ

  30. 01/03/2016 lúc 11:58

    Khi thi chúng ta có cần chứng minh cách tính phương trình đi qua 2 điểm cực trị không thầy?? hay được sử dụng luôn ạ?

  31. Khách
    10/10/2016 lúc 11:58

    Thầy ơi,thâfy xem hộ e công thức này xem có đúng k ạ,
    Ta có pt y=ax^3+bx^2+cx+d
    Co phải đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có công thức này k â:
    Y=(2/3.C-2b^2/9a)x+d-bc/9a.
    Mong thầy xem giúp e vs ạ

  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s