Trang chủ > Các bài viết > Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinX và cosX

Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinX và cosX

I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ

NHÓM I: Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1:

{\rm{a}}{\sin ^2}X + b\sin X\cos X + c{\cos ^2}X = d\left( 1 \right)\left( {a,b,c,d \in R} \right)

Cách giải 1:

Xét X = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}X = 1 \\ \cos X = 0 \\ \end{array} \right.

Thay vào phương trình (1) để kiểm tra.

Khi X \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right). Chia hai vế của phương trình (1) cho {\cos ^2}X ta được phương trình:

\left( {a - d} \right){\tan ^2}X + b\tan X + c - d = 0

Cách giải 2: Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:

a\frac{{1 - c{\rm{os}}2X}}{2} + \frac{b}{2}\sin 2X + c\frac{{1 + c{\rm{os}}2X}}{2} = d \Leftrightarrow b\sin 2X+ \left( {c-a} \right)c{\rm{os}}2X=2d-a-c

Dạng 2: 

{\rm{a}}{\sin ^3}X + b{\sin ^2}X\cos X + c\sin X{\cos ^2}X + d{\cos ^3}X = 0\left( 2 \right)

Cách giải: Dạng toán này được giải theo như cách một ở trên

NHÓM II

II- MỘT SỐ VÍ DỤ

NHÓM I

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x=0\left(* \right)

Giải:

Cách 1:

Xét x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)

Khi đó, phương trình \left(* \right) tương đương với phương trình {\sin ^2}x = 0

Vậy x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right) không phải là nghiệm của phương trình \left(* \right)

Chia hai vế của phương trình \left(* \right) cho {\cos ^2}x ta được phương trình sau:

     {\tan ^2}x + 3\tan x - 4 = 0

\Leftrightarrow \tan x=1 \vee \tan x =-4

\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{4}+k\pi \vee x = \arctan \left({- 4}\right)+k\pi k \in Z

Đáp số: \boxed{x =\frac{\pi}{4}+k\pi ;x = \arctan \left({- 4}\right)+k\pi } k \in Z

Cách 2:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

\frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} + \frac{3}{2}\sin 2x - 4\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} = 0

\Leftrightarrow 3\sin 2x - 3\cos 2x = 1

\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}

Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX

Ví dụ 2: Giải phương trình

2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 2

Ví dụ 3: Giải phương trình

2co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^3}x + 2\sin x.{\cos ^2}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x = 0

NHÓM II

Ví dụ 4: Giải phương trình

co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^3}x + \sin x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\cos x = 0

Ví dụ 5: Giải phương trình

\tan x{\sin ^2}x - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 3\left( {\cos 2x + \sin x\cos x} \right)

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1. {\sin ^3}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin x

2. {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 3\sin x\cos x

3. 2{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x - c{\rm{os}}2x - 5\sin 2x = 0

4. {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\left( {\tan x + 1} \right) = 3\sin x\left( {\cos x - \sin x} \right) + 3

5. 4{\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x - 3\sin x - {\sin ^2}x\cos x = 0

6. c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + {\sin ^3}x = \sin x - \cos x

7. \sin 3x + c{\rm{os}}3x = - 2\cos x

8. \sin x.\sin 2x + \sin 3x = 6{\cos ^3}x

9. 2{\cos ^3}x = \sin 3x

Chuyên mục:Các bài viết
  1. 10/20/2011 lúc 11:58

    thu vai bai xem sao
    4:
    4{\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x - 3\sin x - {\sin ^2}x.\cos x = 0
    xet thay cosx=0 khong la nghiem cua phuong trinh nen chia ca hai ve cua phuong trinh cho cos^{3}x ta duoc:
    \begin{array}{l} 4{\tan ^3}x + 3 - 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x = 0\\  \Leftrightarrow {\tan ^3}x - {\tan ^2}x - 3\tan x + 3 = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x =  \pm \sqrt 3  \end{array} \right. \end{array}

  2. 10/20/2011 lúc 11:58

    9: \begin{array}{l} 2{\cos ^3}x = \sin 3x\\  \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x \end{array}
    vi cosx=0 khong la nghiem nen chia ca hai ve cho cos^{3}x ta duoc pt:
    \begin{array}{l} 2 = 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 4{\tan ^3}x\\ {\tan ^3}x - 3\tan x + 2 = 0\\ \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan  =  - 2 \end{array} \right. \end{array}

  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s