Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( {x-1} \right)\left( {3\sqrt{{{{y}^{2}}+4}}+3\sqrt{{2y-4}}} \right)=\left( {2x+2} \right)\left( {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+\sqrt{{x-1}}} \right)\\\sqrt[3]{{\dfrac{{3y{{{\left( {x+4} \right)}}^{2}}}}{2}}}+\sqrt{{\left( {2x+5} \right)\dfrac{{y-1}}{3}}}=x+y+3\end{array} \right.

  1. 01/18/2016 lúc 11:58

    Hệ phương trình này, ban đầu nếu xuất phát ý tưởng là đưa PT(1) về tích hoặc xét hàm bó tay. Từ PT(2), có:
    Điều kiện y\geq 2; x\geq 1.
    Dễ thấy x=1 không là nghiệm của hệ. Với x>1
    Ta có
    \begin{cases} \sqrt[3]{\dfrac{3y{(x+4)}^2}{2}} =\sqrt[3]{\dfrac{3y}{2}(x+4).(x+4)}\leq \dfrac{\dfrac{3y}{2}+x+4+x+4}{3}= \dfrac{y}{2}+\dfrac{2x}{3}+\dfrac{8}{3}\\ \sqrt{(2x+5)\dfrac{y-1}{3}} =\sqrt{\dfrac{2x+5}{3}(y-1)}\leq \dfrac{\dfrac{2x+5}{3}+y-1}{2}=\dfrac{x+1}{3}+\dfrac{y}{2} \end{cases}
    Khi đó VT(2)\leq x+y+3=VP dấu “=” xảy ra khi 3y=2x+8 thay vào (1) ta được
    (x-1)\left(\sqrt{{(2x+8)}^2+36}+\sqrt{6(2x+2)} \right)=(2x+2)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x-1}\right)
    \Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x+4}{3}-1}\left[\sqrt{{\left(\dfrac{x+4}{3}\right)}^2+1} +\sqrt{\dfrac{x+4}{3}-1}\right]=\dfrac{1}{x-1}\left[\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x-1}\right] \ (*)
    Xét hàm số f(t)=\dfrac{1}{t-1}\left[\sqrt{t^2+1}+\sqrt{t-1}\right] với t>1. Dễ thấy f(t) là hàm số nghịch biến
    Từ (*) ta có \dfrac{x+4}{3}=x\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=4.
    Vậy nghiệm của hệ là (x;y)=(2;4).
    Một bài hệ hay, khó.
    Nguồn: http://k2pi.net.vn/showthread.php?p=80597

  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s