Trang chủ > Bất đẳng thức phụ hai biến > Một số bất đẳng thức phụ hai biến

Một số bất đẳng thức phụ hai biến

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAI BIẾN

1. Bất đẳng thức phụ hai biến
a) Cho a,b là hai số thực không âm. Khi đó, ta có:
+) a+b\ge 2\sqrt{ab}.
+) \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab.
+) (a+b)^2\ge 4ab.
+) a^2+b^2\ge 2ab.
+) a^2+b^2\ge \dfrac{(a+b)^2}{2}.
+) \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge \dfrac{4}{a+b}.
b) Cho a,b là hai số dương thỏa mãn. Khi đó:
+) \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}} với ab\ge1.
Hay được viết dưới dạng: \dfrac{1}{{1 + {a}}} + \dfrac{1}{{1 + {b}}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt{ab}}} với ab\ge1.
+) \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \le \dfrac{2}{{1 + ab}} với ab\le1.
Hay được viết dưới dạng: \dfrac{1}{{1 + {a}}} + \dfrac{1}{{1 + {b}}} \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt{ab}}} với ab\le1.
Chứng minh:
Xét hiệu: P=\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} = \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{2} - \left( {\dfrac{2}{{1 + ab}} - 1} \right)
= \dfrac{{1 - {a^2}}}{{2\left( {1 + {a^2}} \right)}} + \dfrac{{1 - {b^2}}}{{2\left( {1 + {b^2}} \right)}} - \dfrac{{1 - ab}}{{1 + ab}}
= \dfrac{{\left( {1 - {a^2}} \right)\left( {1 - {b^2}} \right)}}{{2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} + \dfrac{{ab - 1}}{{ab + 1}} = \dfrac{{\left( {ab - 1} \right){{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {ab + 1} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}
Khi a,b là các số thực dương và ab\ge1, ta có: P\ge 0 và ngược lại.
b) Cho x,y là hai số dương thỏa mãn. Khi đó:
\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{{1 + xy}}
Chứng minh: Biến đổi trực tiếp.
d) Cho a,b,x,y là các số thực. Khi đó:{\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)
Chứng minh:
Xét hiệu: {\left( {ax + by} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax} \right)^2} + 2ax.by + {\left( {by} \right)^2} - \left( {{a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2}} \right)
= 2ay.bx - {a^2}{y^2} - {b^2}{x^2} = - {\left( {ay - bx} \right)^2} \le 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: ay=bx. Nếu x, y \ne 0 thì \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.
Nhận xét:

+ Nếu a,b là các số thực bất kì và x,y là các số dương. Ta có:

{\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt x }}.\sqrt x + \dfrac{b}{{\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2} \le \left( {\dfrac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}} \right)\left( {x + y} \right)

\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}
Bất đẳng thức này có thể chứng minh trực tiếp bằng phương pháp biến đổi tương đương.

2. Các ví dụ đơn giản

  1. Chưa có phản hồi.
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s