Lưu trữ

Archive for the ‘Bất đẳng thức và cực trị’ Category

Một bài tìm min

08/27/2011 Bình luận về bài viết này

Đây là bài toán đăng trên mathscope

Cho \alpha \in \left(0;\ \frac{\pi}{2}\right). Tìm giá trị nhỏ nhất của P:

P=\left(\cos \alpha +1 \right)\left(1+\frac{1}{\sin \alpha}\right)+\left(\sin \alpha +1 \right)\left(1+\frac{1}{\cos \alpha}\right)

Giải : ( Theo maxmin )

Khai triển P, ta có:

P=2+\left({\cos\alpha+\frac{1}{{2\sin\alpha}}}\right)+\left({sin\alpha+\frac{1}{{2\cos\alpha}}}\right)+\frac{1}{2}\left({\frac{1}{{\sin\alpha}}+\frac{1}{{\cos\alpha}}}\right)+\tan\alpha+\cot\alpha

Áp dụng bất đẳng thức C-S cho từng cặp số ta có:

P\ge4+3\sqrt2     0<\alpha<\frac{\pi}{2}

Do đó:

\mathop{\min P}\limits_{\left({0;\frac{\pi }{2}}\right)} =4+3\sqrt 2 \Leftrightarrow\alpha =\frac{\pi }{4}

Chuyên mục:Bất đẳng thức và cực trị