Tính chất về đường cao trong tam giác_01
1. Tính chất Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, BH và CK lần lượt là các đường cao trong tam giác. Chứng minh rằng AI vuông góc với HK.
2. Chứng minh
3. Áp dụng
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3x-4y-17=0; đường thẳng BC đi qua điểm và điểm M có tung độ âm.
Tính chất của đường phân giác_01
1. Tính chất: Cho tam giác ABC, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại điểm D. Phân giác trong góc ADB cắt AB tại E, cắt AC tại F. Chứng minh rằng .
2. Chứng minh
3. Áp dụng
Bài 1: Trong phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong góc là , điểm thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AB.
Tính chất của điểm thỏa mãn hệ điều kiện
1. Tính chất: Cho hình bình hành ABCD, điểm M nằm trong hình bình hành sao cho . Chứng minh rằng .
Chứng minh:
+ Dựng hình bình hành MBCN.
+ Ta có: .
+ Tứ giác MCND nội tiếp đường tròn nên .
2. Áp dụng
Bài 1: ( Thi HSG 12 Phú Thọ 2015 – 2016)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có . Điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho . Tìm toa độ điểm D biết .
3. Nhận xét
+ Trong bài toán trên, điểm chốt của vấn đề là khai thác tính chất của điểm M. Một bài toán tương tự trong đề thi HSG 12 Hà Tĩnh năm 2015 nằm ở câu 3 nhưng ở phần HHKG.
+ Trong bài toán trên, chúng ta viết được PTĐT AD độc lập với phần giả thiết của điểm M.
Tính chất về tam giác cân_01
1. Tính chất: Cho tam giác cân tại A nội tiếp đường tròn (C) tâm I, gọi D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD thì IE vuông góc với CD.
Chứng minh:
+ Gọi G là giao điểm của CD và AH với H là trung điểm của BC. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
+ Do E là trọng tâm tam giác ACD nên EG song song với AB. Vậy: EG vuông góc với ID. Lại có AH vuông góc với ED. Do đó, G là trực tâm tam giác DEI. Điều đó chứng tỏ CD vuông góc với IE. (đpcm).
2. Áp dụng
Bài 1: ( Thi thử THPT Nghèn-Hà Tĩnh lần 1 năm học 2015 – 2016 )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm cạnh AB. Biết rằng lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ACD; các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB. Tìm tọa độ A, B, C biết A có tung độ dương.
Hướng dẫn:
+ IE vuông góc với CD. Viết PT CD.
+ Tham số hóa điểm D, tìm được điểm D.
+ Viết AB, tham số hóa điểm A.
+ Suy ra tọa độ A, B, C theo tham số và sử dụng .